Zadanie 2. Problem z belką

Dwóch mężczyzn niesie na ramionach jednorodną, drewnianą belkę o długości L = 6 m. Jeden z nich trzyma koniec belki na ramieniu. Jak daleko od drugiego końca belki trzyma ją drugi mężczyzna jeśli belka naciska na jego ramię siłą o 50% większą niż na ramię pierwszego mężczyzny?

 

Wskazówka 1.

Co wiemy o siłach działających na belkę, jeśli mężczyźni idą, a ona się nie obraca?

 

Rozwiązanie 1.

Działające na belkę siły utrzymują ją w równowadze. Oznacza to, że wypadkowe sił działających na belkę oraz momentów sił muszą być równe zero (w odniesieniu do każdego punktu).

 

Wskazówka 2.

Narysuj obraz sytuacji i wyznacz wszystkie siły działające na belkę. Nie przypomina to tobie prostej maszyny? Zapisz dwa warunki równowagi.

 

Rozwiązanie 2.

Rys. 2. Siły działające na belkę.

Na środek ciężkości belki działa w dół siła grawitacji.

Na belkę działają też siły i  - są to siły, jakimi ramiona mężczyzn działają na belkę. (Mają tę samą wartość co siły nacisku belki na ramiona mężczyzn.)

Sytuacja jest podobna do dźwigni dwustronnej lub wahadła.

 

Jeżeli belka jest w równowadze, to wypadkowe sił oraz momentów sił w dowolnym punkcie są równe zeru wektorowemu.

 

Dla sił prawdziwe jest:

Przepiszmy równanie skalarnie:

Dla momentów sił, mierzonych względem środka ciężkości:

Przepiszmy skalarnie (przyjmujemy M₁ za dodatnie):

Dla momentów sił prawdziwe jest:

 

gdzie r₁, r₂ są odległościami między środkiem ciężkości i odpowiednimi siłami; moment siły ciężkości jest równy zero ze względu na położenie środka ciężkości.

Wiemy, że:

 

Podstawiając za F₂ i r₁ powyższe wyrażenia do wzoru (1), możemy wyrazić odległość r₂:

Dla L = 6 m otrzymamy:

Odpowiedź.

Drugi mężczyzna trzyma belkę w odległości 2 m od jej środka, czyli 1 m od końca.