Zadanie 1.  Spadanie kamienia

Kamień ześlizguje się z półki, która znajduje się na wysokości h nad ziemią, i upada na ziemię. Podziel wysokość h na n części tak, aby czas spadania kamienia w każdej z tych części był taki sam. Zaniedbaj opór powietrza. Rozwiąż dla wartości h = 245 m, n=5.

Wskazówka 1.  Oznaczenia.

Oznacz każdą część, na którą dzieli się wysokość h oraz czasy spadania kamienia w poszczególnych częściach. Czas spadania w każdej części będzie taki sam.

Rozwiązanie 1.

N części wysokości h oznaczmy jako:

Czas upadku, taki sam dla każdej części, oznaczmy jako t₀.

Rys. 1. Podział wysokości h na n części.

Wskazówka 2. Droga spadania.

Poszczególne części można uznać za etapy drogi swobodnie spadającego kamienia. Zastanów się czemu równa się ich suma.

Jaki jest związek między drogą i czasem swobodnego spadania? Napisz go najpierw dla pierwszej części, następnie dla dwóch pierwszych części, a na koniec – ogólnie dla n części.

Rozwiązanie 2.

Poszczególne części można uznać za etapy drogi swobodnie spadającego kamienia.

Wysokość h jest sumą n części:

h = x₁ + x₂ + … + x_n

Czas spadania, taki sam dla poszczególnych części, oznaczyliśmy jako t₀.

Wskazówka 3. Czas spadania.

Z zależności (3) łatwo wyrazić czas spadania t₀, który jest taki sam dla wszystkich części.

Rozwiązanie 3.

Zgodnie z (3) czas spadania t₀ dla każdej części wynosi:

Wskazówka 4. Rozkład wysokości spadania.

Używając zależności (4), możemy wyrazić poszczególne części spadania za pomocą wysokości h i ilości elementów n.

Rozwiązanie 4.

Wiemy, że prawdziwe jest:

Podstawiając za t₀ w równaniu (1) równanie (4), otrzymujemy długość pierwszego odcinka.

Drugi odcinek jest wyrażony przez równanie (2). Ponownie zastępujemy t₀ równaniem (4).

Dla i-tego odcinka toru stosuje się:

Dla  i = 1, 2, …, 5;      h = 245 m;      n = 5   otrzymamy:

Odpowiedź:

Dla poszczególnych części spadania kamienia prawdziwe są zależności:

Dla i = 1, 2,…, 5,        h = 245 m,  n = 5  dostaniemy: